Tema 6 · Inferencia y estimación

1. Idea

Inferir es generalizar de una muestra a una población. Parámetros: μ, σ², p. Estadísticos: x̄, S², p̂. El estadístico es aleatorio antes de observar la muestra; su valor observado es un número.

2. Estimación puntual

Sí

μ ≈ x̄
σ² ≈ S²
p ≈ p̂ = x/n

Letras: S² es cuasivarianza, divide entre n-1. p̂ es éxitos/tamaño muestral.

3. Distribuciones muestrales del formulario

Caso	Estadístico	Letras
Media normal, σ desconocida	T=(x̄-μ)/(S/√n) ~ t_{n-1}	S cuasidesviación; n-1 g.l.
Varianza normal	χ²=(n-1)S²/σ² ~ χ²_{n-1}	S² cuasivarianza.
Proporción	Z=(p̂-p)/√(p(1-p)/n) ~ N(0,1)	Aproximación normal.
Diferencia medias varianzas iguales	T con S_p y nX+nY-2	S_p² varianza combinada.
Diferencia medias muestras grandes	Z con S_X²/nX + S_Y²/nY	nX,nY≥30.
Cociente varianzas	F	Orden numerador/denominador.
Diferencia proporciones	Z	p̂X-p̂Y.

4. Intervalos de confianza

No memorizar largo si está formulario; sí elegirlo

IC media normal σ desconocida:
x̄ ± t_{n-1;1-α/2} · S/√n

IC varianza:
[(n-1)S²/χ²_{n-1;1-α/2}, (n-1)S²/χ²_{n-1;α/2}]

IC proporción:
p̂ ± z_{1-α/2}√(p̂(1-p̂)/n)

Letras: α=1-confianza. En 95%, α=0.05 y 1-α/2=0.975.

5. Comparaciones

Aprender selector

IC diferencia de medias, varianzas iguales:
(x̄-ȳ) ± t_{nX+nY-2;1-α/2} S_p√(1/nX+1/nY)

IC diferencia medias, muestras grandes:
(x̄-ȳ) ± z_{1-α/2}√(S_X²/nX + S_Y²/nY)

IC cociente varianzas y diferencia proporciones: usar formulario.

Letras: Si el IC de diferencia contiene 0, igualdad posible. Si el IC de cociente contiene 1, varianzas iguales posible.

6. Decisiones con intervalos

Intervalo	Valor que miras	Conclusión si lo contiene
μ	μ₀	μ=μ₀ es admisible.
σ²	σ₀²	Varianza propuesta admisible.
p	p₀	Proporción propuesta admisible.
μX-μY	0	Medias iguales admisibles.
pX-pY	0	Proporciones iguales admisibles.
σX²/σY²	1	Varianzas iguales admisibles.